Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos. Lithuanian

Tai klasikiniai graikų geometrijos uždaviniai, kuriuos reikia išspręsti tenaudojant nesužymėtą liniuotę ir skriestuvą.

Graikų dėmesys brėžimo uždaviniams, naudojant tik liniuotę ir skriestuvą, atitinka jų filosofinę nuostatą apie pasaulio įvairovės aiškinimą nurodant struktūrinius elementarius pagrindus.

Paskutinių dviejų (pagal šiame straipsnelyje pateikiamą tvarką) negalimumą 1837 m. įrodė P. Vancelis¹⁾ (Liouville Journal), nors apie tai apie 1800-uosius žinojo ir K. Gausas. Kampo trisekcijos neišsprendžiamumą 1882 m. įrodė Lindemann‘as²⁾.

Įrodymai remiasi faktu, kad skaičiai, gauti naudojant tik nežymėtą liniuotę ir skriestuvą, išvedami iš duotų pradinių skaičių tik aritmetinių veiksmų (sudėties, atimties, daugybos ir dalybos) ir kvadratinės šaknies būdu. Tai vadinamieji Euklido skaičiai. Juos galima įsivaizduoti kaip skaičius, gaunamus pakartotinai sprendžiant kvadratines lygtis.

Visiems tiems trim uždaviniams reikia arba traukti kubinę šaknį arba naudoti p. Kubinė šaknis nėra Euklido skaičiumi, o Lindermanas įrodė, kad p yra transcendentinis skaičius, t.y. jis negali būti jokios algebrinės lygties su sveikaisiais koeficientais sprendiniu - t.y., jis taipogi nėra Euklido skaičiumi.
Kubui, kurio kraštinė lygi 1, uždavinys tapatus lygties x³=2 sprendimui.

Daugelį traukė ši paprasta ir suprantama formuluotė, natūraliai sukelianti iliuziją, kad uždavinys lengvai išsprendžiamas. Ir kas senovėje galėjo pagalvoti, kad jo bus ieškoma net 2500 m. Jis pasirodė „kietu riešutėliu“ ir mokslininkams, ir gausiems geometrijos mėgėjams. Visi sunkumai, su kuriais buvo susiduriama, tik didino uždavinio populiarumą. Prie jo prisidėjo ir „kvadratintojų“ garbės troškimas, noras įeiti į istoriją arba bent gauti užtarnautą apdovanojimą. Bet koks susidomėjimo juo protrūkis sukeldavo „skritulio kvadratūros epidemiją“.

Jiedu turi bendrą plotą tik tuo atveju, jei spindulio ir kvadrato kraštinės santykis lygus kvadratinei šakniai iš p.
F. Lindemanas 1882 m. įrodė, kad negalima nubrėžti tokį santykį turinčių dviejų atkarpų.

Dar vadinamas Deliano uždaviniu. Reikia surasti tokį kubo briaunos ilgį, kad jo tūris padvigubėtų. Šių dienų terminais būtų - išspręsti x³ = 2 lygtį. Iš tikro, sprendžiant geometriniais metodais naudojant tik liniuotę ir skriestuvą, jos išspręsti negalima, nes Deliano konstanta

(kubinė šaknis iš 2) nėra Euklido skaičius, jo negalima išreikšti dviejų sveikų skaičių trupmena. Tad reikėjo rasti, kaip šią reikšmę išreikšti geometriškai.

Menaechmas ją išsprendė suradęs dviejų parabolių x² = y ir y² = 2x susikirtimą. Ją taip pat galima išspręsti naudojant neusis („ribojančią“) konstrukciją, kai leidžiama slysti sužymėtai liniuotei. Ji leidžia išspręsti ir kampo trisekcijos ir taisyklingo heptagono sudarymo uždavinius.

1837 m. Pierre Wantzel‘is įrodė, kad šis uždavinys (kaip ir kampo trisekcijos) neišsprendžiamas naudojant tik tiesias linijas ir apskritimus (įrodymas išspausdintas „Journal of Liouville“)

Uždavinys ekvivalentiškas kubinės lygties sprendimui.
Kampo trisekcija

Kai kuriems kampams, pvz., 90^o tai išsprendžiama lengvai.
Jo negalimumas įrodomas parodžius, kad neįmanoma padalinti 60 kampo.

Sprendžiama, kaip kampą padalinti į tris lygias dalis. Uždavinys iškilo, kai geometrai išmoko brėžti penkiakampį. Einant tolyn pasirodė, kad norint brėžti kitus n-kampius (ir kurių kraštinių skaičius kartotinis 9), reikia mokėti į tris dalis padalyti kampą.

Uždavinys neišsprendžiamas „plokštumos“ priemonėmis. Tarkime, kampas yra 60^o. Tada:
cos 3a = cos a cos 2a - sin a sin 2a = cos a (cos² a - sin² a) - 2 sin² a cos a = cos a ( 2 cos² a - 1) - 2 (1 - cos² a) cos a = 4 cos 3a - 3 cos a

Pakeitus x = cos a, gausime:
8 x³ a - 6a - 1 = 0
Dar kartą pakeitę v = 2x, gausime

Tarkim ji turi sprendinį p/q, kuris yra nesupaprastinama trupmena. Tada:
p³ - 3 p q² - q³ = 0

iš čia analogiškai seka, kad q dalija p, t.y. ( q | p ). O taip gali būti tik tada, kai p/q yra 1 arba -1, bet nė vienas šių atvejų netenkina (*) lygties.

¹⁾ Pieras Vancelis (Pierre Laurent Wantzel, 1814-1848) – prancūzų matematikas. nuo 1838 m. keliose Paryžiaus mokymo įstaigose dėstė taikomąją mechaniką. Garsi jo 1837 m. publikacija, įrodanti klasikinių graikų kubo padvigubinimo ir kampo trisekcijos uždavinių neišsprendžiamumą. Taip pat įrodė, kad skriestuvo ir liniuotės pagalba neįmanoma nubrėžti taisyklinkų daugiakampių, kurių kraštų kiekis tenkina Gauso sąlygas (t.y. nesiskaido į 2 laipsnius ir pirminius Ferma skaičius). Tiesa, amžininkai į šią publikaciją dėmesio neatkreipė ir praėjus 80 m. tapo gerai žinoma tarp matematikų.
1843 m. taip pat įrodė, kad kubinis polinomas su racionaliais koeficientais turi tris realiąsias šaknis, tačiau jos yra neišvedamos nenaudojant kompleksinius skaičius turinčių išraškų.
Mirė 34 m. amžiaus, anot draugo, nuo pervargimo.

²⁾ Ferdinandas Lindemanas (Carl Louis Ferdinand von Lindemann, 1852-1939) – vokiečių matematikas. Vystė įvairias matematikos sritis: Abelio funkcijų teoriją, projektyvinę, diferencialinę ir algebrinę geometrijas, skaičių teoriją. Taip pat užsiėmė matematikos istorija ir sprektro analizės teorija. Žinomiausias tapo įrodymu, kad p yra transcendentalus skaičius (t.y., nėra jokio polinomo šaknimi) – tuo pačiu, kad neišsprendžiamas ir skritulio kvadratūros uždavinys. Daugelį metų beviltiškai bandė įrodyti Didžiąją Ferma teoremą.
Buvo profesoriumi keliuose Vokietijos un-tuose (tarp jų ir Karaliaučiaus, 1883-1893). 1892 m. išrenkamas Albertinos rektoriumi. Po metų persikelia į Miuncheną ir jo universitete dirba iki mirties. Buvo didelis kalnų gerbėjas (buvo Vokietijos alpinistų sąjungos Karaliaučiaus sekcijos pirmininku).
Taip pat žr. >>>>>