Trijų kūnų uždavinys aštuoniukėje. Lithuanian

Praėjus 300 m. po I. Niutono darbo apie planetų judėjimą, trijų kūnų uždavinys vis dar matematikams leidžia padaryti naujų įžvalgų. Jo esmė – turint pradines trijų, vienas kitą traukiančių kūnų koordinates ir judėjimo Aštuoniukė

vektorius bei greičius apskaičiuoti tolimesnį kūnų judėjimą. Bendras uždavinio sprendinys yra negalimas dėl chaotiškos kūnų dinamikas, kurią 1890 m. nustatė A. Puankarė. Tačiau praktiniams tikslams (dangaus kūnų judėjimui ar kosminių aparatų trajektorijoms) galimos gana tikslios aproksimacijos. Tačiau kas tinka NASA, netenkina matematikų, kurie tebetyrinėja uždavinį.

Šis uždavinys susieja tris matematikos sritis: topologiją, geometriją ir dinamiką.

Vienas iš R. Montgomery ir A. Chenciner'io sprendinių yra aštuoniukės formos figūra, kuria trys vienodos masės kūnai visąlaik seka vienas kitą. Iš naujo atrastas ir įrodytas 2000-ais. Jį pirmąkart 1993 m. atrado Ch. Moore iš Santa Fe inst-to, naudodamas skaitmeninės aproksimacijos metodą. Pateikus aštuoniukės sprendimą konferencijoje, kiti matematikai ėmė atradinėti N vienodos masės masės orbitas, kuriomis tie kūnai seka vienas kitą – jas italų matematikas C. Simo, jų atradęs visą šimtinę, pavadino „choreografijomis“.

Aštuoniukės ir kitų „choreografijų“ sprendiniai žavi savo estetika ir net įėjo į mokslinę fantastiką kinų rašytojo Liu Cixin'o romane „Trijų kūnų uždavinys“, 2015 m. laimėjusiame Hugo premiją (skaitykite apie kinų literatūrą).

Pavadinimas „trijų kūnų uždavinys“ panaudotas 1747 m. kai besivaržantys Ž. d‘Alamberas ir A. Kleras pateikė pirmąsias šio uždavinio analizes Mokslų akademijai.

Bendru pavidalu trijų kūnų uždavinys aprašomas 9-ių antro laipsnio diferencialinių lygčių sistema trijų kūnų, kurių pozicijos apibrėžtos vektoriais r_i=(x_i, y_i, z_i) ir gravitaciškai sąveikaujančių su masėmis m_i:

2021 m. Jeruzalės Hebrajų un-to mokslininkai, vadovaujami Barako Kolo, pasiūlė naują būdą, leidžiantį nuspėti trijų kūnų sistemos elgesį. Jis turėtų pašalinti esamų metodų trūkumus. Dar nuo A. Puankarė laikų žinomą, kad trijų kūnų uždavinys neturi determinuoto sprendinio. Ir nors kompiuterinis modeliavimas irgi negali duoti ilgalaikės prognozės, 1976 m. mokslininkai padarė išvadą, kad reikia ieškoti statistinio sprendimo.

Vis tik visi statistiniai metodai neatsižvelgia į du aspektus: a) chaotiškas sistemos judėjimas kaitaliojasi su reguliariu ir subyra, kai du kūnai ima suktis apie bendrą masių centrą, o trečias pakaitomis tai artėja, tai tolsta nuo jų; b) neribotas traukos jėgos veikimo diapazonas numato ir begalinę fazinę erdvės apimtį, tad mokslininkai iki šiol darė prielaidą apie „stiprios sąveikos sritį“ ir paskaičiuodami tikimybes atsižvelgė tik į konfigūracijas jos ribose.

Dabar pasiūlyta panaudoti fazinės erdvės apimties srautą, o ne pačią fazinę apimtį. Kitaip sakant, visi taškai (sistemos būsenos) tam tikroje erdvės apimtyje juda (keičiasi būsenos) tarytum sudarymos skysčio tekėjimo srautą. Toks srautas yra ribotas, todėl nekyla fazinės erdvės begalinės apimties problemos ir nebūtina įvesti stiprios sąveikos srities.

Srautais paremta teorija su dideliu tikslumu numato bet kurio kūno pabėgimo tikimybę simuliacijose esant tam tikroms prielaidoms. Spėjama, kad naujas metodas leis išspręsti daugybę astrofizikinių problemų, tame tarpe kompaktiškų kūnų (neutroninių žvaigždžių, juodųjų skylių) porų susidarymo procesą, kai susidaro gravitacinės bangos.

kur G – gravitacinė konstanta (G=6,67430(15)x1o^-11 m³ x kg^-1 x s^-2); taškas virš r nurodo išvestinę laike.

Ši sistema neturi bendro analitiškai išreikšto sprendinio, tačiau žinoma kažkiek sprendinių atskiriems atvejams. 1892-99 m. A. Puankarė įrodė, kad yra begalinis atskirų sprendinių kiekis. 1767 m. Oileris jau buvo pateikęs pirmuosius 3 sprendinius, o 1772 dar du nustatė Ž. Lagranžas. 1911 m. V.M. MakMilanas atrado naują sprendinį, tačiau be matematinio pagrindimo, kurį tik 1961 m. pateikė rusas K. Sitnikovas. 8-me dešimtm. nustatyta dar viena atskirų sprendinių klasė, 1993 m. Ch. Muras atrado „aštuoniukes” vienodos masės kūnams, po kurių pasipylė daugybė kitų sprendinių periodinėms orbitoms – tiek vienodos masės, tiek nevienodos.

Dar sudėtingesnė situacija sprendžiant trijų kūnų uždavinį bendrojoje reliatyvumo teorijoje (pvz., greta juodosios skylės), kurioje net dviejų kūnų uždavinio sprendinys neturi analitinės išraiškos.

„Trijų kūnų uždavinys“: kritinis mokslinis požiūris

Liu Cycino romano siužetas toksai: trinarėje Kentauro Alfos žvaigždžių sistemoje randasi Trisoliario planeta su civilizacija, kuriai visąlaik tenka kovoti dėl išlikimo: ji tai šąla, tai kaista, nors būna ir stabilių laikotarpių, kuriuos vėl keičia chaosas ir kataklizmai. To priežastis – chaotiška ir nenuspėjama trijų kūnų dinamika - nes trijų kūnų uždavinys neturi analitinio sprendinio, išreiškiamo viena formule, o ties juo triūsia ekscentriškas žemietis (o tai šalutinė siužeto linija). Šiaip analitinis sprendinys egzistuoja, tačiau jis išreiškiamas begaline lėtai konverguojančia eilute – tad paprasčiau spręsti panaudojant Liu Cicinas „grubią jėgą“ naudojant skaitmeninius metodus, nei sumuoti tą eilutę. Paprasti sprendiniai žinomi ta tikroms konkrečioms konfigūracijoms, kurių dabar žinoma per 1000. Tokių sprendinių, kaip įrodė A. Puankarė, gali būti be galo daug, tačiau mažiausias nukrypimas nuo pradinės konfigūracijos greita sistemą išveda iš analitės būsenos.

Bet ar yra praktinė analitinio sprendinio būtinybė?! Romane tai pateikiama vos ne kaip trisoliariečių civilizacijos išsigelbėjimo galimybė – atseit, tai jiems leis iš anksto pasiruošti ateičiai. Bet problema tame, kad net jei toks sprendinys egzistuotų, jis būtų nestabilus, nes nestabili pati trijų kūnų dinamika. Mažiausias nukrypimas pradinių sąlygų matavime jau greitai privestų į neprognozuojamus pasikeitimus. Ir be to trijų kūnų sistemos evoliucija puikiai paskaičiuojama bet kuriuo tikslumu skaitmeniniais metodais (tiesa, pradinės sąlygos – taškas 18-matėje fazinėje erdvėje: nei vizualizuosi, nei susigaudysi). Tad romano veikėjo pastangos yra daugiau akademinio nei praktinio pobūdžio.

Kita vertus, ir pati Kentauro Alfos sistema yra hierarchinė ir stabili. Trinarei žvaigždžių sistemai hierarchinė struktūra būna esant artimai žvaigždžių porai ir nutolusiai trečiai žvaigždei (šiuo atveju tai raudonoji nykštukė Kentauro Proksima, kuri nuo centrinės A ir B poros, besisukančios 23 a.v. orbita, nutolusi per 0,2 švm.). Kiekviena Kentauro Alfos žvaigždė gali turėti planetų stabiliomis orbitomis, o Kentauro Proksima tikrai turi bent vieną. Kentauro A turi (nepatvirtintą) planetą gigantę, o jei ši turi stamboką palydovą, tai jame įmanoma gyvybė (tai būtų jau 4-as hierarchijos lygis). Beje, ir dauguma žvaigždžių sistemų būtent hierarchinės (išimtis – jaunos žvaigždės) – taigi jose nėra dinaminio chaoso, kokį bandoma vaizduoti romane.

Bet jei paimsim tris maždaug vienodos masės kūnus maždaug vienodu atstumu vienas nuo kito ir leisime skrieti atsitiktinėmis kryptimis, tai su didele tikimybe gausim chaotiškos dinamikos sistemą. Būtent tokiomis grupėmis dažniausiai ir gimsta žvaigždės – bet kodėl tada nestebime tokių sistemų?! Ogi priežastis labai paprasta – „trečias nereikalingas“ (t.y., jei sistema netampa hierarchine, trečiasis kūnas iš jos pašalinamas).

O kai dėl kitų fantastinių prielaidų romane?! Pvz., Saulės radiolokacija ir radijo signalo sustiprinimas jos vidumi? Čia įdomiausias tvirtinimas apie fazinį pasidalijimą Saulės viduje – aiški riba su rentgeno spindulių energijos ir, matyt, jonizacijos (geležies, nors autorius apie ją nerašo) lygio sumažėjimu. Greičiausiai, niekalas, bet reikia gilintis, kaip paneigti; o juk panašios fazinės ribos sutinkamos tarpžvaigždinėje erdvėje (HI ir HII zonos). Bet tai, kad radijo bangos praninka iki tokios ribos, o tada sustiprinamos – aiškus niekalas (argumentas – radijo bangų sugėrimas plazmoje).

O štai istorija apie du „protingus“ protonus, išsiųstus iš Trisoliario sistemos į Žemę – tik gražus išmislas.