Pi keliai ir klystkeliai. Lithuanian

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...
(žr. milijonas Pi ženklų po kablelio)

Pi Biblijoje

1 Kar 7,22: Lelijų pavidalo pagražinimai puošė kolonų viršų. Taip jis užbaigė kolonas.
1 Kar 7,23: Jis taip pat nuliejo baseiną 10 uolekčių skersmens, apskritą, 5 uolekčių aukščio, o jo apimtis buvo 30 uolekčių.
1 Kar 7,24: Dvi eilės pumpurų, nulietų išvien su baseinu, buvo po briauna aplinkui jį, po 10 pumpurų uolektyje.
1 Kar 7,25: Jis stovėjo ant 12 jaučių. 3 buvo atsigręžę į šiaurę, 3 į vakarus, 3 į pietus ir 3 į rytus. Baseinas buvo jų viršuje; ir jų užpakalinės dalys buvo po baseinu.
1 Kar 7,26: Jis buvo plaštakos storio, jo briauna buvo panaši į taurės briauną, į lelijos žiedą; jame tilpo 2000 batų vandens.

Pastaba: Atkreipkite dėmesį, kad čia p laikomas esant lygiu 3.

Pi transcendentalumas ir pilnumas

Kad p nėra racionalus skaičius, žino nemažai baigiusiųjų mokyklą (aišku, toli gražu ne visi). Tačiau p taip pat yra ir transcendentalus skaičius, t.y. jis nėra jokios algebrinės lygties šaknis. Todėl p yra labiausiai pažįstamas iš transcendentalių skaičių (kitas yra e, žr. apie jų sąsają >>>>>). Kadangi p yra iracionalus, tai jo begalinė išraiška susideda iš skaimenų, kurių jokia grupė nesikartoja. Teoriškai tai reiškia, kad jame galimos visos įmanomos skaitmenų sekos, o kitaip tariant, jame gali būti užkoduotos visos įmanomos istorijos. Šią idėją jau išsakė Jorge Luis Borges’as „Babelio bibliotekoje“ (žr. >>>>>), kur aprašoma begalinį knygų skaičių turinti biblioteka, kurioje yra visos įmanomos knygos (esamos ir būsimos).

Archimedas parodė, kad skritulio kvadratūros uždavinys ekvivalentiškas stačiojo trikampio, kurio statiniai skritulio perimetrui ir spinduliui, ploto radimui. Šių dydžių santykis lygus dvigubai p reikšmei.

Kad šis skaičius iracionalus, 1761 m. įrodė Lambertas. Jis parodė, kad jei x (kai x ¹ 0) yra racionalus, tai nei e^x, nei tg(x) negali būti racionalūs. Tačiau, kadangi tg (p /4)=1, tai ir p/4 (o kartu ir p) turi būti iracionalus.

O kad p yra transcendentinis, 1882 m. įrodė F.Lindemanas. Jo įrodyme daroma išvada, kad jei x yra algebrinės lygties su racionaliais koeficientais šaknis, tai e^x negali būti racionalus skaičius, nes jei pi yra tokios lygties šaknis, tai e^pi negali būti racionaliu. Tačiau e^pi=-1, taigi tai racionalus skaičius. Iš šio prieštaravimo pi, o kartu ir p, negali būti algebriniu skaičiumi (apie tai skaitykite kirmgrauža tarp matematikos sričių).

Pirmąkart simbolį p 1647 m. panaudojo V. Otredas¹⁾ – jis per d/p žymėjo skersmens santykį su apskritimo ilgiu. O 1697 m. Dž. Gregoras²⁾ p/d žymėjo atvirkščią santykį. p, kaip atskirą simbolį, panaudojo V. Džonsas³⁾. Po kelių metų J. Bernulis šį dydį žymėjo raide c, Oileris 1734 m. panaudojo p, o 1736 m. - c, Ch. Goldbachas 1742 m. - p. Pasirodžius L. Oilerio „Įvadui į be galo mažų dydžių analizę“ (1748) p naudojimas tapo visuotinai priimtas.

p apytikslę reikšmę bet kokiu tikslumu galima paskaičiuoti dviem metodais. Pirmasis jų – geometrinis: skaičiuojant daugiakampio, įbrėžto į apskritimą, ir daugiakampio, apibrėžto aplink apskritimą, perimetrus. Laikoma, kad apskritimo ilgis randasi tarp tų dviejų reikšmių [šio metodo istorija pateikta (1) ]. Antrasis ir šiuolaikiškesnis metodas – panaudojant begalines konverguojančias eilutes, kurių riba yra p.

Pristatysime p apytikslių reikšmių paskaičiavimų istoriją. Apie senovėje naudotus metodus galima paskaityti (2), apie naudotus Viduramžiais ir Naujaisiais laikais – de Morgano straipsnis (3) ir su B. de Chaano papildymais (4). Dž. Glešero apibendrinimai - (5). Kovo 14

Egipte apie 1700 m. pr.m.e. p laikė lygiu 256/81 (t.y. 3,1605). Grubesnį apvalinimą iki 3 naudojo Babilone ir Judėjoje. Graikijoje abejotina, ar Jonijos atstovai pateikė gerą priartėjimą. Hipokratas iš Chijo korektiškai atlikdavo kai kurių „mėnuliukų“ kvadratūrą – ir tai buvo nemažas žingsnis bandant rasti apskritimo kvadratūrą (tačiau iš to dar negalima išvesti p reikšmės). Vėlesni Atėnų mokyklos atstovai savo pastangas nukreipė kita kryptimi.

Dominančiu klausimu užsiėmė tik Archimedas, parodęs, kad p mažesnis už 3 1/7 ir didesnis už 3 16/71 (t.y. yra tarp 3,1408... ir 3,1428...). Jis tai nustatė įbrėždamas ir apibrėždamas taisyklingus 96-kampius.
Tai ekvivalentiška teiginiu sin q < q < tg q. Kur q = p/96.
sin q ir tg q reikšmes Archimedas paskaičiavo iš sin (p/3) ir tg(p/3) daug kartų dalindamas kampą pusiau. Archimedo metodas davė du tikslius ženklus po kablelio. Kažkokias kritikuojančias pastabas apie šį rezultatą išsakė Apolonijus, tačiau jie mūsų nepasiekė.

Heronas iš Aleksandrijos nurodė 3, bet minėjo ir 22/7 – matyt, 3 naudota tik grubiems suapvalinimams. O iš graikų verta paminėti tik Ptolemėjų, teigusį, kad p = 3^o 8‘ 30‘‘ (t.y. apie 3,1416).

Grubiems paskaičiavimams romėnų matininkai naudojo 3, o kartais 4, o tikslesniems jie dažnai imdavo 3 1/8 (vietoj 3 1/7), nes su gautomis trupmenomis patogiau dirbti 12-tainėje aritmetikoje. O kita vertus, Gerbertas (popiežius Silversteris II, apie 1000 m.) rekomendavo reikšmę 22/7.

Indijoje Baudhajana⁴⁾ kaip p naudojo 49/16. Aryabhata (apie 530 m.) nurodo 62832/20000 (t.y. 3,1416). Jis parodo, kad jei a yra taisyklingo n-kampio, įbrėžto į vienetinį apskritimą, briauna, o b įbrėžto 2n-tainio briauna, tai b²= 1/2-((1-a²)^1/2)/2 Tada jis nuosekliai randa reikšmes daugiakampiams su 2, 24, 48, 96, 192 ir 384 briaunomis. Paskutinio perimetru ima reikšmę sqrt(9,8694)

, o iš čia priartėjimo būdu išveda minėtą p reikšmę.

Brahmagupta (apie 650 m.) nurodo sqrt(10)

, kas lygu 3,1622… Minima, kad tą reikšmę jis gavo įbrėždamas daugiakampius su 12, 24, 48 ir 96 briaunomis ir padaręs prielaidą, kad toliau tęsiant jų perimetrai artės prie sqrt(10)

. Bhaskara (apie 1150 m.) nurodė du priartėjimus: vienas jų, matyt, paimtas iš Aryabhatos, tačiau perskaičiuotas Archimedo metodu 384-kampiui, yra 3927/1250 (t.y. 3,1416).

Kinų astronomas Czu Čunčži⁵⁾ (g. 430 m.) parodė, kad p randasi tarp 3,1415926 ir 3,1415927, „teisinga” laikydamas 355/113 reikšmę. Li Čunfenas (602–670) pateikė p 30-ies ženklų tikslumu.

Tarp arabų vertėtų paminėti Dž.G. al-Kaši⁶⁾ (apie 1436 m.), nustatęs p reikšmę, lygią 6,28318530771795865, t.y. 16-os ženklų po kablelio tikslumu (jis 60-ainėje sistemoje ją paskaičiavo 9 ženklų tikslumu, o paskui pervedė į dešimtainę). Toks tikslumas išsilaikė net iki 1596 m. Be to, tai tikriausiai skaičiaus pervedimo iš vienos sistemos į kitą pirmas atvejis.

Grįžtant į Europą - 14 a. anglų matematikas Tomas Bradvardinas¹⁸⁾ tebetvirtino, kad p = 22/7, o 16 a. prancūzų matematikas ir kartografas Oroncijus Finėjas¹⁹⁾ laikė p apytiksliai (o vėliau ir tiksliai) lygų 245/78. Prancūzų matematikas Simonas Diušenas matematikas 1584 m. pareiškė, kad skritulys yra lygus kvadratui, kurio kraštinė lygi 39/44 skersmens, taigi, perskaičiavus:
p = 3,1435…. (mišri periodinė trupmenu su 22 skaitmenų periodu).

Leonardas iš Pizos (Fibonačis) nurodė reikšmę 1440/(458 1/3), kas lygu 3,1418… Purbachas⁶⁾ (15 a.) nurodė (paskaičiuotą, matyt, ne jo, žr. Baudhajana) reikšmę 62832/20000 (t.y. 3,1416). Nikolajus Kuzietis laikė, kad p yra 3/4 ( sqrt(3)

, t.y. 3,1423) – ir kalba, kad Regiomontanas⁷⁾ (Johanas Miuleris) patikslino iki 3,14243 (tiesa, pats Regiomontanas buvo linkęs Nikolajaus samprotavimus priimti filosofiškai, tačiau toli gražu ne matematiškai).

1579 m. F. Vietas parodė, kad p didesnis nei 3,1415926535, bet mažesnis už 3,1415926537. Tą įvertinimą jis gavo įbrėžiant ir apibrėžiant daugiakampius su 6 x 10¹⁶ briaunų, paskaičiuojant jų perimetrą daug kartų taikant formulę 2sin²(q/2)=1-cos(q) Jis taip pat išvedė formulę:
Vieto pi išraiska

1593 m. Adrianas van Romenas⁸⁾ paskaičiavo įbrėžto 1073741824-kampio (t.y. 2³⁰) perimetrą ir nustatė 15 ženklų po kablelio. Ludolfas van Ceilenas⁹⁾ p reikšmės skaičiavimui pašventė nemažą gyvenimo dalį. 1596 m. jis nustatė 20 ženklų po kablelio – panaudojus daugiakampį su 60x2³³ briaunomis. Jis mirė 1610 m. ir ant jo antkapio buvo išgraviruota 35-ių ženklų po kablelio p reikšmę (tokią jis buvo paskaičiavęs). Šio skaičiuotojo darbas matematikams padarė tinkamą įspūdį – nuo tada p ėmė vadinti Ludolfo skaičiumi. Be to, van Romenas sudarė įvairių taisyklingų daugiakampių perimetrų lentelę.

Vis tik Ceileno pasiekimai įtikino ne visus. Po ketvirčio amžiaus danų astronomas Christianas-Severinas Longomontanas²⁰⁾„sukvadratino“ skritulį ir nustatė p=3,15185. Tam reikalui jis skyrė 25 gyvenimo metus, atkakliai gynė savo sprendimą ginčuose su Dekartu, Kavaljeri, Mersenu, Pelu²¹⁾ ir kitais - tačiau pripažinimo taip ir nesulaukė.

1621 m. Vilebrordas Snelas¹⁰⁾ gavo 34 ženklus naudodamas daugiakampį su 2³⁰ briaunomis. Nors tai mažiau už van Romeno gautą reikšmę, tačiau Snelo metodas buvo tiek pažangesnis, kad iš tokio daugiakampio van Romenas įstengė gauti tik 14 (arba 16) ženklų. Jo metodas rėmėsi teorema
3sin(q)(2=cos(q)) < q < 2sin(q/3)+ tg(q/3)
Tiesa, Snelo įrodymas (šios teoremos) klaidingas, tačiau pati teorema teisinga. Taip pat Snelas sudarė daugiakampių perimetrų lentelę, - briaunų kiekiui 10x2ⁿ, kur n nuo 3 iki 19.

1630 m. Ch. Grinbergeris¹¹⁾, panaudodamas Snelo formulę, pasiekė 39 ženklus po kablelio. Jis buvo paskutiniu, naudojusiu geometrinį metodą – tolesnis p reikšmės tikslinimas jau buvo beprasmis...

Tolimesniems p reikšmės skaičiavimams imta naudoti konverguojančias eilutes. Jas taikyti pasiūlė Dž. Gregoras, nustatęs, kad

1659 m. Dž. Valis¹²⁾ įrodė, kad

ir, pasinaudodamas V. Broukerio gautu rezultatu, išvedė formulę
Valio formulė

Tačiau dėl lėto konvergavimo šios formulės netinka p skaičiavimui. Pirmuoju, panaudojusiu Gregoro eilutę, įstačius į ją p/6, buvo Abraomas Šarpas¹³⁾, nustatęs 71 teisingą ženklą. 1706 m. Dž. Mečinas¹⁴⁾ paskaičiavo p reikšmę 100 ženklų tikslumu. Jis skaičiavo pagal formulę

Toliau ženklų skaičius nuolat augo – ir čia verta paminėti fenomenalų skaičiuotoją Z. Dazę, 1844 m. pasiekusį 200 ženklų ribą skaičiuojant mintyse (!). Mačino tipo formulės geriausiai tinkančios skaičiuojant be kompiuterio ir rekordą 1946 m. pasiekė Danielis Fergusonas, nustatęs 620 ženklus. Bet yra išvestos ir greičiau konverguojančios eilutės.

Buvo siūlomi ir kiti p skaičiavimo metodai. Vienu jų yra Monte Karlo metodas. 1995 m. atrasti du algoritmai, atvėrę naujus horizontus. Jie vadinami “ventilio” algoritmais: vienas yra Stan Wagon’o¹⁵⁾ ir Stanley Rabinowitz’io¹⁶⁾, o kitas - Simon Plouffe¹⁷⁾. Jų ypatybė – skaičiuojant reikšmę jie skaičiuoja tik konkretaus ženklo konkrečioje vietoje reikšmę ir nesaugo visų reikšmės ženklų. Tad jiems reikia mažiau atminties.

Dabar su kompiuteriais jau paskaičiuota trilijonai ženklų po kablelio.
Šveicarų tyrėjai 2021 m. rugsėjį paskelbė pasiekę naują p reikšmės tikslumą – 62,8 trilijonų ženklų tikslumu. Skaičiavimai superkompiuteriu truko 108 d.

¹⁾ Viljamas Otredas (William Oughtred, 1574-1660) – anglų dvasininkas ir matematikas, žinomas kaip logaritminės liniuotės išradėjas ir vienas iš šiuolaikinės matematinės simbolikos (daugybos, dalybos, sin, cos...) pradininkų. 1631 m. išleido puikų aritmetikos vadovėlį, taip pat kelis darbus iš trigonometrijos, laikrodininkystės ir kt. Buvo paniręs į okultizmą ir astrologiją.

²⁾ Džeimsas Gregoras (James Gregory, 1638-1675) - škotų matematikas ir astronomas, vienas matematinės analizės pradininkų. 1663 m. aprašė reflektorinio teleskopo konstrukciją, o nuo 1667 m., būdamas Padujoje, dėmesį sutelkė matematikai. Tarp jo pasiekimų yra negriežtas e ir p transcendentalumo įrodymai, artimas šiuolaikiniam matematinės ribos apibrėžimas, o panaudojimas be galo mažų skaičių žymėjimui ir kt.

³⁾ Viljamas Džonsas (William Jones, 1675-1749) – matematikas iš Velso, I. Niutono ir E. Halio draugas. Pirmasis panaudojo p žymenį (1706; kaip santrumpą žodžiui periphery arba perimeter). Pirmas panaudojimas

Jis buvo valstiečio sūnus iš mažos Anglesey salelės. Beveik savamokslis, jis mokė matematikos karo laive, kol neišleido „Naujojo navigacijos mokslo konspekto“ (1702) apie navigacinę matematiką. Vėliau mokė matematikos Londone. Ten išleido „Synopsis palmariorum matheseos“ (1706), kuriame panaudojo p žymenį. Ši knyga tapo varbi ir padėjo tapti mokslo bendrijos nariu.

⁴⁾ Baudhayana (apie 800 m. pr.m.e.) - indų matematikas, ankstyvosios Šulba sutros autorius. Joje nurodoma p reikšmė, Pitagoro teorema, $sqrt(2)$ paskaičiavimas...

⁵⁾ Czu Čunčži (429-500) – kinų matematikas ir astronomas, rašytojas ir valstybės veikėjas. 464 m. ėmėsi skaičiaus p reikšmės paskaičiavimo (iki 7-o ženklo). Ci dinastijos laikais buvo rūmų astronomu ir sudarė naują Damin kalendorių, įvestą 510 m. ir naudotą iki 588 m. Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje ir asteroidas nr. 1888.

⁶⁾ Džamšidas al-Kaši (apie 1380-1429) – persų astronomas ir matematikas, vienas iš Samarkando observatorijos vadovų. Pirmasis sistemingai išdėstė dešimtainių trupmenų teoriją. „Dangaus laiptuose“ (1407) aptaria atstumus iki Mėnulio ir Saulės, jų dydžius, atstumus iki planetų ir nejudančios žvaigždžių sferos. Parašė ir daugiau astronominių traktatų. „Apie apskritimą“ Archimedo metodu skaičiuoja apskritimo ilgį ir gauna p 16-os ženklų tikslumu. Neišlikusiame traktate „Apie stygą ir sinusą“ jsi pasiūlė iteracinį trisekcijos lygties sprendimo būdą.

⁶⁾ Georgas Purbachas (Georg von Peuerbach, 1423-1461) – austrų astronomas ir matematikas, astronominių instrumentų gamintojas. Geriausiai žinomas Ptolemėjo sistemos pristatymu „Theoricae Novae Planetarum“ (1472). Jis taip pat parengė pagalbines astronomines lenteles, parašė aritmetikos vadovėlį „Linksmiausias algoritmo mokslas“ ir traktatą „Apie Ptolomėjaus tvirtinimus apie sinusus ir stygas“, kuriame Ptolomėjaus trigonometrija lyginama su sinusų trigonometrija. 1456 m. stebėjo kometą (vėliau sutapatintą su Halio kometa). 1451 m. jis sukonstravo Saulės laikrodį Šv. Stefano soborui Vienoje. Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.

⁷⁾ Regiomontanas (Johannes Muller von Konigsberg, 1436-1476) – vokiečių matematikas, astronomas ir astrologas, rašęs lotynizuotu Ioannes de Monteregio vardu. Kartu su G. Purbachu iš naujo išvertė Ptolomėjaus „Almagestą“. 1474 m. išleido „Efemerides“,kurios buvo pirmosiomis atspausdintomis astronominėmis lentelėmis. Parašė kelis traktatus apie astronominius instrumentus. Astrologijoje aprašė naują namų sistemą, tebenaudojama iki šiol. Pagrindiniu matematiniu veikalu buvo „Apie visus trikampių tipus“ (1462-64), kuriame trigonometrija pirmąkart nagrinėjama kaip atskira matematinė sritis. Taip pat sudarė septynženkles sinusų lenteles su 1‘ žingsniu bei tangentų lenteles.

⁸⁾ Adrianas van Romenas (Adriaan van Roomen, 1561-1615) – flamandų matematikas. Daugiausia dirbo geometrijos ir trigonometrijos srityse. 1593 m. veikale jis nagrinėjo taisyklingus daugiakampius ir jų kraštines išreiškė santykiu tiek su įbrėžtų, tiek su apibrėžtų apskritimų skersmenimis. Tokiu būdu jis pasiekė p reikšmę 16-os ženklų tikslumu. 1610 m. persikėlė į Lenkiją.

⁹⁾ Ludolfas van Ceilenas (Ludolph van Ceulen, 1540-1610) - Nyderlandų matematikas. Sverbiausiu jo darbu buvo p reikšmės skaičiavimas pasiekiant 35 ženklų tikslumą. Jis parašė ir kelis matematinius darbus.

¹⁰⁾ Vilebrordas Snelas (Willebrord Snellius, 1580-1626) - olandų matematikas, fizikas ir astronomas. Jis pasiūlė naudoti trikampių panašumo metodą geodeziniose matavimuose: „Eratosthenes Batavus“ (1617) aprašomas trianguliacijos metodas. 1621 m. atrado šviesos lūžimo dėsnį, tačiau jo nepaskelbė ir vėliau jį archyvuose surado R. Dekartas. Be to, jis pasiūlė naują p skaičiavimo metodą – pirmą patobulinimą nuo senovės.

¹¹⁾ Kristoforas Grienbergeris (Christoph (Christophorus) Grienberger, 1561-1636) – austrų jėzuitas, astronomas. Jis buvo techninis cenzorius jėzuitų darbams, kas leido jam susipažinti ir įvertinti daugelio autorių darbus. Jis jėzuitus, siunčiamus misijoms į Kiniją, supažindavo su astronomija (skaitykite Misionieriai Kinijoje). Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.

¹²⁾ Džonas Valis (John Wallis, 1616-1703) - anglų dvasininkas ir matematikas, vienas iš matematinės analizės pirmtakų, davęs impulsą be galo mažų skaičių teorijos vystymuisi (1655 m. išeido „Begalybės aritmetika“). Jam priskiriamas begalybės simbolio (∞) įvedimas. Jaunystėje jis pasižymėjo ir nepaprastais skaičiavimo mintyse sugebėjimais (pvz., traukė kvadratinę šaknį iš 53-ženklio skaičiaus. 1685 m. paskelbė papildytą „Traktatą apie algebrą“, perteikiantį to meto žinias: jame buvo ir geometrinė kompleksinių skaičių interpretaciją, tiesa, amžininkų likusi nepastebėta. „Traktate apie kūgio pjūvius“ jis geometrinę bazę perkėlė į algebrinę panaudodamas be galo mažus dydžius. Nuo jo kūgio pjūviai imti nagrinėti kaip plokščios kreivės. Įdomūs jo tyrinėjimai nustatant kai kurių kreivių lanko ilgį. Taip, susiderėjęs su Paskaliu, jis rado cikloidės lanko ilgį, jos plotą bei segmento svorio centrą. Jo garbei pavadintas asteroidas 31982.
Taip pat skaitykite >>>>>

¹³⁾ Abraomas Šarpas (Abraham Sharp, 1653-1742) – anglų matematikas ir astronomas. 1684-90 dirbo Grinvičo observatorijoje, kur sudarė Jupiterio palydovų judėjimo lenteles, gamino astronominius instrumentus, pagarsėjęs kaip puikus jų derintojas. Paskelbė geometrijos vadovėlį ir logaritmų lenteles. Garsėjo skaičiavimo sugebėjimais – išskaičiavo p 72 ženklų tikslumu. Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.

¹⁴⁾ Džonas Mačinas (John Machin, apie 1686-1751) – astronomijos peofesorius , geriausiai žinomas greitai konverguojančios eilutės skaičiui p suradimu ir jos pa(nuo 1713 m.)galba paskaičiavęs jo reikšmę 100 ženklų tikslumu. 1718-47 m. buvo Karališkos draugijos sekretoriumi.

¹⁵⁾ Stenlis Vagonas (Stanley Wagon , ) – Kanados kilmės amerikiečių matematikas, alpinistas, slidinėtojas, ultramaratonininkas ir sniego skulptūrų kūrėjas (laisvalaikiu). Parašė knygų apie skaičių teoriją, geometriją, diferencialines lygtis ir kt. Užsiima klausimais, kaip kompiuterių pagalba palengvinti (ir vizualizuoti) matematikos supratimą. Patraukė dėmesį sukūręs dviratį kvadratiniais ratais.

¹⁶⁾ Stenlis Rabinovičius (Stanley Rabinowitz, g. 1947 m.) – amerikiečių matematikas. Save vadina „matematiku širdyje, tačiau kompiuterininku pagal profesiją“. Domisi skaičių teorija, kombinatorika, geometrija, p skaičiavimo algoritmais, automatiniu teoremų įrodymu ir kt. Nuo 1989 m. yra „MathPro Press“, jo įkurtos ir spausdinančios matetines knygas, prezidentu. Laisvalaikiu mėgsta žaisti „dungeons“ žaidimus.

¹⁷⁾ Simonas Plufė (Simon Plouffe, g. 1956 m.) – Kanados matematikas, atradęs BBP algoritmą, leidžiantį surasti p skaičiaus ženkąl n pozicijoje. Buvo „Sveikų skaičių enciklopedijos“ bendraautoriumi.

¹⁸⁾ Tomas Bradvardinas (Thomas Bradwardine, apie 1300-1349) – anglų dvasininkas, filosofas ir teologas, matematikas, fizikas. Paminėtinas jo veikalas „Apie teorinę geometriją“ (1530), kurio 1-me skyriuje nagrinėjami žvaigždiniai daugiakampiai ir pateikė taisyklę, leidžiančią surasti vidinių kampų sumą; 2-me skyriuje nagrinėja daugiakampių, skrutulio ir rutulio izoperimetrines savybes ir nuodugniai aptaria lietimo kampus; 3-as skyrius skirtas proporcijoms, o 4-me – aptariamas tik 5-ių taisyklingų daugiakampių egzistavimas ir erdvės užpildymo taisyklingais briaunainiais uždavinys.
„Traktatas apie kontinumą“ (apie 1326 m.) skirtas mokymui apie tolygų ir diskretinį, esančia ties fizikos, matematikos ir filosofijos riba. Taip pat parašė traktatą „Apie rato kvadratūrą“ (1495) ir kitus. Jo insolubilia (melagio paradokso) teorija padarė įtaką Buridanui.
Jis buvo atminties praktikos ir populiarinimo entuziastas; veikale „De Memoria Artificiali“ (apie 1335 m.) jis aptaria savo laikmečio atminties lavinimo idėjas.

¹⁹⁾ Oroncijus Finėjas (Orontius Finnaeus, 1494-1555) – prancūzų matematikas ir kartografas. Nuo 1531 m. pradėjo dirbti Karališkame koledže (dabar College de France), kuriame dėstė iki mirties. Buvo gausių matematinių veikalų, skirtų įvairioms sritims, autorius. Jis p reikšmę pateikė (1544 m.) apytiksliai lygią (22 2/9) / 7 (t.y. apie 3,14159), vėliau 47/15 (apie 3,1333) ir pagaliau (1556) 3 11/78 (apie 3,1410).
1524 m. pagamino (išlikusį) dramblio kaulo saulės laikrodį. 1542 m. išleido „Apie dangaus sferas“, populiarų vadovėlį su graviūromis. Pirmuoju žemėlapiu buvo Prancūzijos žemėlapio graviūra (1525). Tačiau reikia pažymėti 1532 m. jo sudarytą pasaulio žemėlapį, kuriame dar neatrasta Antarktida pavaizduota be ledo dangos. Jo vardu pavadintas krateris Mėnulyje.

²⁰⁾ Christianas-Severinas Longomontanas (Christen Sorensen Longomontanus, 1562-1647) – danų astronomas ir matematikas; Ticho Brahės mokinys ir padėjėjas. Mirus mokytojui liko Prahoje su J. Kepleriu, tačiau susipyko ir grįžo į Daniją, kur buvo matematikos profesoriumi. Iš veikalų žinomiausias „Astronomia Danica“ (1622), kur nuodugniai išdėstyta heliocentrinė sistema. Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.

²¹⁾ Džonas Pelas (John Pell, 1611-1685) – anglų matematikas ir politikas. 1638 m. pasiūlė vieną pirmųjų „universaliosios kalbos“ projektą. Užsiėmė algebrinėmis lygtimis ir sudarinėjo matematines lenteles. 1644 m. ėmė dėstyti Amsterdamo un-te ir kelis metis ginčijosi su Longomontanu, teigusiu, kad nustatė p reikšmę. Galiausiai paskelbė traktatą „Ginčas su Longomontanu apie skritulio kvadratūrą“ (1647). Su J. Ranu parengė monografiją „Vokiečių algebra“ (1659), kurioje ir pasirodė Pelo lygtis:
ax² + 1 = y²