|
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Kitos sąsajos tarp matematikos sričių pavyzdys yra
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Tikriausiai visiems iki grabo lentos nerūdijančiais vinimis įkalta
Pitagoro teorema, skelbianti, kad
Stačiojo trikampio įstrižainės kvadratas lygus jos statinių kvadratų sumai
Arba užrašant algebriškai: a2+b2=c2
Trejetas (a, b, c) yra vadinamas Pitagoro skaičiumi.
Dar daugelis girdėjo apie Fibonačio skaičius arba Aukso pjūvį, kurie susiję
.
Finonačio skaičių seka gaunama sudedant ankstesnius su skaičius, t.y.
Fn+1=Fn+F,SUB>n-1
Pradedant F0=0 ir F1=1, gauname tokią seką:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Fibonačio skaičiai dažnai sutinkami mene, architektūroje ir gamtoje: pvz., triušių veisimasis, ananasų raštai ir t.t
Tačiau, ar galima ne tik matematikams, bet ir humanitarams sukelti susižavėjimą ir nustebimą sąryšiais matematikoje?
Juk kaip sako Lynn Arthur Steenas*): Menų ir humanitarinių mokslų studentams matematika yra
neįžvelgiama kultūra bauginanti, vengiama ir todėl nesuprantama.
[ Lynn Arthur Steen. Restoring Scholarship to Collegiate Mathematics// Focus 6 (1986): 1-7 ]
Nes galbūt ir galima, nes juk pasirodo, kad gerai visiems žinomi Pitagoro skaičiai ir Fibonačio skaičiai glaudžiai susiję!
Teiginys. Jei paimsime:
a=2FnFn=1;
b=Fn2-Fn=12;
c=F2n+1
tada, kai n >= 2, turim a2+b2=c2,
o tai reiškia, kad (a, b, c) yra Pitagoro skaičius!
Patikrinkime paėmę n=5:
F5=5;
F6=8;
F11=89.
Tada a = 2*5*8=80, b=52-82=25-64=39, c=89.
c2=7921
a2+b2=802+(-39)2=6400+1521=7921
Įrodymas
A. Pirmiausia mums reikia įrodyti pora formulių (*):
F2n= Fn(Fn+1+ Fn-1)
F2n+1= Fn+12+ Fn2
Iš tikro, mums tereiks antrosios, tačiau jos susijusios, - ir lengvai įrodomos indukcijos metodu, pradedant n=1. Tai galite atlikti patys.
Pastaba. Jei jums nepavyko patiems įrodyti pagalbinių (*) formulių, paspauskite
rodyti įrodymą...
B. Sąsajos įrodymas
Jei n yra sveikas skaičius, tada 2n+1 yra nelyginis skaičius. Mes jau žinome, kad
ir ieškome kažko, kas atrodytų panašiai į
Todėl atliekame tokias transformacijas:
Įstatykime teiginyje nurodytas a, b, c reikšmes ir gausime
c2=a2+b2
Įrodysime indukcijos metodu. Patikriname, kai n=1:
Dabar tarkime, kad formulės teisingos kažkuriam žinomam k > 0:
F2k= Fk(Fk+1+ Fk-1)
F2k+1= Fk+12+ Fk2
Tada dėl k+1 turim
ir
Formulės įrodytos!
*)
Lynas Stynas (Lynn Arthur Steen, 1941-2015) amerikiečių matematikas, parašęs
daugybę knygų ir straipsnių apie matematikos mokymą; dauguma jų skirta ne profesionalams. Jis
nagrinėjo matematikos ryšius su kitomis mokslo sritimis. Buvo paskutiniu MAA prezidentu.
Taip pat skaitykite:
Pitagoro teorema
Grandi paradoksas
Begalybė (pristatymas)
Dirbtinis intelektas kare
Parabolės lenktas likimas
Vištų matematiniai pokalbiai
Pi keliai ir klystkeliai
Nepaprasti Visatos skaičiai: 8
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
B. Raselas. Matematiko košmariškas sapnas
Mokslininkui nereikia matematikos!
Kaip įmanomas begalinis klonavimas?
Kodėl matematikoje nežinomąjį žymi x?
Endre Szemeredi darbų esmė ant pirštų
Kas vyko ar įvyko? SKIE-MUO: Priešistorė
E. Galua: matematikos genijus, revoliucionierius
Naujos skaičių sistemos siekia atgauti pirminius skaičius
Klasikinės neišsprendžiamos geometrinės konstrukcijos
Matematika Van Gogo Žvaigždėtoje naktyje
Žodžių anagramos, skaičiai, paprikos ir kt.
Nepaprasti skaičiai: skaičius 42
A. Whitehead. Skaičiavimų prigimtis
Nauja pirminių skaičių klasė
Pagrindinės statistinės sąvokos
Revoliucija mazgų teorijoje
Išmatuojam apskritimą
Tūkstantmečio problemos
Aritmetikos pagrindai
Romėniški skaitmenys
Kvadratinė lygtis
Matematikos keliu
Fraktalai
|