M. Gardneris. Nė vienos pusės neturėjęs profesorius. Lithuanian

Apie autorių >>>>>
Pirmąkart atspausdintas „Esquire“ žurnale. Į šio apsakymo fabulą įpinta tiek mokslo teiginių, kad nemažai JAV koledžų įtraukė jį privalomos matematinės literatūros sąrašą. Apsakymo tęsiniu yra „Penkių spalvų sala“ (1952), o vienpusių paviršių tema pratęsta Ian McEwan'o apsakyme „Erdvinė geometrija“ (1976).

Pratarmėje apsakymui M. Gardneris paaiškina: „Plačiai kalbama, kad Slapenarskis paimtas pagal lenkų topologą Samuelį Eilenbergą (1913-1998), tačiau aš niekad nebuvau girdėjęs apie Eilenbergą ir neturėjau jo mintyse. Tačiau dėl Roberto Simpsono – buvo toks matematikas, su kuriuo susipažinau, kai jis buvo aukštesniųjų kursų studentu Viskonsino universitete“.

Doloresa, daili briunetė Čikagos naktinio baro „Raudonas gaubtas“ striptizo šokėja, išėjo į estrados vidurį, egiptietiškų motyvų akordų lydima atliko kelis lėtus savojo „Kleopatros šokio“ pa. Salė skendėjo tamsoje, - ir tik prožektoriaus įžūlus spindulys slankiojo matine įspūdingų šlaunų oda ir žaidė egiptietiškos Doloresos aprangos ornamentais.

Štai štai jau turi nukristi vualis, dengiantis šokėjos galvą ir pečius. Grakščiu judesiu ji nukreipė jį link grindų, tik staiga pritilusioje salėje kažkur viršuje pasigirdo aštrus garsas, tarsi pistoleto šūvis. Iš viršaus į estradą galva žemyn nudribo nuogas stambaus vyto kūnas. Krisdamas jis užkabino vualį ir prispaudė jį prie grindų su dusliu dungtelėjimu.

Administratorius Džekas Bauersas, šūktelėjo, kad įjungtų šviesą, ir bandė publiką išlaikyti vietose. Metrdotelis, stovėjęs prie estrados ir stebėjęs šokį, nuo stalo nutraukė staltiesę ir užmetė ją ant susirietusio kūno, kurį atvertė ant nugaros.

Vyras sunkiai kvėpavo. Matyt jis prarado sąmonę nuo smūgio. Jam buvo per 50-mt; trumpi, trumpai apkirpta barzda ir ūsai, plika galva ir profesionalaus imtynininko figūra.

Trys oficiantai matyt nelengvai pakėlė kūną ir nunešė į metrdotelio kambarį, palikę salėje priblokštus ir įsiaudrinusius vyrus ir moteris, besižvalgančius tai vienas į kitą, tai į lubas ir karštai aptarinėjančius, kaip ir iš kur nudribo žmogus. Galima buvo spėti kad kol salė skendėjo tamsoje, kažkas nusviedė jį į estradą. – tačiau, kas? bet nieko nematė. Iškvietė policiją.

Tuo metu metrdotelio kambaryje barzdočius atgavo sąmonę. Jis tvirtino, kad jis vardu Stanislovas Slapenarskis ir yra Varšuvos universiteto matematikos profesorius, pakviestas paskaitų skaitymui Čikagos universitete.

Prieš tęsiant šią kuriozišką istoriją, privalau prisipažinti, kad pats nebuvau tų įvykių liudininku ir dėstau pagal metrdotelio bei oficiantų pasakojimus. Tačiau buvau betarpišku visos nepaprastų įvykių, pasibaigusių beprecedentiniu profesoriaus pasirodymu salėje, grandinėlės dalyviu.

Tie įvykiai prasidėjo kelios valandos iki tol. Miobiuso draugijos nariai susirinko į eilinį kasmetinį susirinkimą viename iš jaukių kabinetų antrame „Raudono gaubto“ klubo aukšte. Miobiuso draugija – tai negausi, mažai žinoma Čikagos matematikų, užsiimančių topologija (viena jauniausių ir įdomiausių šiuolaikinės matematikos sričių, tiriančių geometrinių figūrų transformacijų dėsnius), grupelė. Norint, kad to vakaro įvykiai būtų suprantamesni, reikia trumpai pristatyti topologijos specifiką.

Topologijos esmę sunku nusakyti be specialių terminų panaudojimo, tačiau galima nurodyti, kad topologai nagrinėja geometrinių figūrų savybes nepriklausančias nuo jokių deformacijų. Įsivaizduokite sau žiedą iš tamprios gumos, kurį galima kiek norima sukioti ir tampyti bet kuria kryptimi. Ir kiek smarkiai būtų deformuotas (ar „transformuotas“, kaip mėgsta sakyti matematikai) šio žiedo paviršius, kai kurios jo formos savybės išliks nepakitę. Taip, pvz., visad išlieka jo skylė. Topologijoje žiedo formos kūnas vadinamas „toru“. Net ir šiaudelį kokteiliams galima laikyti labai ištemptu palei vertikalią ašį toru, tad topologijos požiūriu toras ir šiaudelis yra identiškos figūros.

Topologijos visai nedomina kiekybiniai santykiai; jai svarbios tik fundamentalios paviršių savybės, išliekančiomis nepakitusiomis net po smarkiausių kūno paviršiaus transformacijų, kai šios įvyksta be plyšimų ar suklijavimų. Jei kūną supjaustytume, o po to suklijuotume kita tvarka, tai gautume jau kitą kūną, kuriame visos pradinės topologinės savybės bus prarastos. Taigi, topologija tiria pačias esmingiausias, fundamentaliausias realių kūnų matematines savybes.

Kaip pavyzdį panagrinėkime vieną topologijos problemą. Įsivaizduokite torą (žiedą), susidariusį iš plonos gumos uždaro vamzdelio. Taip pat įsivaizduokite, kad toro paviršiuje yra nedidelė skylutė. Ar galima per ją išversti torą taip, kad, tarkim, per skylutę išverčiamas oro balionas? Tokį uždavinį ne taip paprasta išspręsti mintyse...

Nors nemažai 18 a. matematikų užsiėmė atskiromis topologijos problemomis, vieną pirmųjų sistemingų darbų šioje srityje amžiaus pirmoje pusėje atliko Leipcigo universiteto vokiečių geometras Augustas Ferdinandas Miobusas. Iki jo visi manė, kad bet kuris paviršius, pvz., popieriaus lapas, privalo turėti dvi puses. Tačiau jis padarė nuostabų atradimą – parodė, kad paėmus popieriaus juostelę ir ją persukus suklijuoti galus, gausime vienpusį paviršių!

Jei nepatingėsite pasigaminti tokią juostelę (topologai ją vadina Mobiuso lapu¹⁾ arba juosta) ir įdėmiai ją išnagrinėsite, tai netrukus įsitikinsite, kad ji iš tikro tegali turėti tik vieną uždarą pusę ir tik vieną uždarą kraštą.

Pradžioje net sunku įsivaizduoti, kad toks lapas aplamai gali egzistuoti, tačiau jis egzistuoja aiškia ir apčiuopiama forma, jį visai nesudėtinga pasigaminti, ir jis turi nenuginčijamą vienpusiškumo savybę; savybę, kuri neišnyksta, kad ir kaip jį glamžytume, susukinėtume ar tampytumėm.

Tačiau grįžkime prie mūsų istorijos. Aš didžiuojuosi tuo, kad man, kaip Čikagos universiteto atstovui, apsigynusiam disertaciją iš topologijos srities, nebuvo sunkumų tapti Mobiuso draugijos nariu. Narių kiekis nebuvo gausus – viso tik 26 asmenys, daugiausia Čikagos topologai ir dar keli gretimų miestų universitetų atstovai.

Mes reguliariai rinkomės kartą per mėnesį ir mūsų posėdžių pobūdis daugiausia buvo akademiniu, tačiau kartą metuose, lapkričio 17-ą (A. Mobiuso gimimo dieną) surengdavome simpoziumą, į kurį garbės svečiu ir lektoriumi pakviesdavome kokį nors iškilų topologą.

Simpoziumas apėmė ir mažiau svarbius aspektus – paprastai tai būdavo koks nors paprastas prasiblaškymas. Tačiau šiais metais turėjome mažai lėšų, tad nusprendėme metus atžymėti „Raudono gaubto“ klube, kur valgiai mums nebuvo per brangūs, o pasilinksminimu po paskaitos galėjo būti varjetė programa. Mums pasisekė, kad garbės svečiu ir lektoriumi sugebėjome pasikviesti garsų profesorių Slapenarskį – pasaulyje pripažintą topologą ir šiame amžiuje vieną iškiliausių matematikų.

Daktaras Slapenarskis mieste buvo jau kelias savaites ir Čikagos universitete skaitė paskaitų ciklą apie Einšteino erdvės teorijos topologinius aspektus. Mūsų susitikimų universitete dėka sugebėjome tapti gerais draugais ir mane įpareigojo pakviesti jį svečiu į mūsų simpoziumą.

Į „Raudonąjį gaubtą“ vykome taksi ir pakeliui paklausiau jo, apie ją jis rengiasi kalbėti savo įžanginiame pasisakyme. Tačiau jis tik paslaptingai nusišypsojo ir man pasakė su ryškiu lenkišku akcentu, kad laukti liko neilgai. Jo pasisakymo tema – „Pusių neturintis paviršius“ – kėlė tokį susidomėjimą tarp mūsų draugijos narių, kad daktaras Robertas Simpsonas iš Viskonsino universiteto, priimdamas pakvietimą, rašė, kad tai bus pirmas mokslinis susirinkimas, kurį jis aplankys per visus praėjusius metus^*). Daktaras Simpsonas – iškilus Vidurio Vakarų topologas, svarbų darbų apie topologiją ir branduolinę fiziką, kuriuose jis ryžtingai ginčijo kai kuriuos svarbiausius Slapenarskis teiginius, autorius.

Lenkų profesorius ir aš atvykome kiek pavėlavę. Po trumpos susipažinimo ceremonijos sėdome prie stalo ir aš atkreipiau Slapenarskio dėmesį į mūsų į stalo serviravimą įtraukti įrankius su užuomina į topologiją. taip, pvz., žiedais servetėlėms buvo panaudotos sidabrinės Miobuso juostos, o specialiai sukurti puodeliai kavai buvo Kleino butelių²⁾ formą.

Po valgio mums patiekė alų „Ballantine³⁾“, nes jo etiketė turėjo įdomų prekinį ženklą, ir dviejų trigubų mazgų formos sūrūs biskvitai. Slapenarskis tomis detalėmis buvo sužavėtas ir net pateikė keletą pasiūlymų stalui panaudoti ir kitas topologams įdomias figūras, tačiau jo pasiūlymai buvo pernelyg sudėtingi, kad į juos būtų verta atsižvelgti. Ballantine alaus logotipas

Po mano trumpo pristatomojo žodžio Slapenarskis atsistojo, atsakė šypsena į sveikinimo aplodismentus ir atsikosėjo. Salėje akimirksniu įsivyravo tyla. Skaitytojas jau susipažinęs su profesoriaus išvaizda, jo solidžiomis formomis, ruda barzda ir blizgančia plike. Jo veide buvo parašyta, kad dabar jis mums atskleis kažką nepaprastai svarbaus.

Aš bejėgis pilnai perpasakoti nuostabų ir tik specialistams suprantamą Slapenarskio pranešimą. Tačiau esmė tokia: prieš 10 m. jį sukrėtė Miobuso viename mažiau žinomame veikale išsakyta mintis apie tai, kad nėra teorinių prieštaravimų tam, kad paviršius gali prarasti ne tik vieną, bet ir abi puses. Kitaip sakant, teoriškai įmanomas „nulinių“ paviršių egzistavimas.

Natūralu, sakė profesorius, kad tokį paviršių sunku įsivaizduoti, tačiau taip pat sunku įsivaizduoti ir kvadratinės šaknies iš minus vieneto ar hyperkubo keturmatėje erdvėje egzistavimą. Seniai pripažinta, kad kokios nors koncepcijos neprieinamumas vaizduotei nesuteikia pagrindo neigti jo vertę ir naudą šiuolaikinei matematikai ar fizikai.

Reikia prisiminti, pridūrė jis, kad net vienpusis paviršius nesuvokiamas nemačiusiam ir rankoje nelaikiusio Mobiuso juostos. O daugelis, net turintys neblogą matematinę vaizduotę, nepajėgūs patikėti jos egzistavimu. Tuo metu, žvilgtelėjęs į daktarą Simpsoną, pastebėjau jo lūpų kampučiuose skeptišką šypseną.

Štai jau daug metų, tęsė Slapenarskis, jis užsiėmęs nepaliaujamomis paviršių, neturinčių pusių, paieškomis ir štai, pateikdamas analogijas su žinomais paviršiaus tipais, jis sugebėjo ištirti nemažai jų savybių. Galiausiai, - čia jis padarė pauzę, kad jo savo pareiškimą padarytų efektyvesniu, blizgančiomis akimis apvedė įsitempusius klausytojų veidus, ir ištarė: „Man teko sukurti paviršių, neturintį pusių“.

Jo žodžiai tarsi elektros srovė nupurtė visus prie stalo. Visi krūptelėjo, pakeitė pozas ir nustebę susižvalgė. Mačiau, kaip Simpsonas stipriai papurtė galvą. Kai pranešėjas nuėjo į tą kambario galą, kur kabėjo lenta, Simpsonas pasilenkė ir sušnabždėjo: „Visiški niekai. Arba tas tipas visiškai kvaištelėjo, arbą sąmoningai visus kvailina“.

Aš spėju, ir kiti nusprendė, kad tai gryniausia mistifikacija, nes kaip aš jau pastebėjau, jie pradėjo šypsotis, kai profesorius greitais kreidos brūkšniais lentoje braižė sudėtingas schemas.

Po trumpo savo schemų (kurios pasirodė virš mano suvokimo sugebėjimų), paaiškinimo profesorius pareiškė, kad savo pranešimo pabaigoje jis sukurs vieną paprasčiausių neturinčio pusių paviršiaus modelį. Dabar visi ėmė žvalgytis neslėpdami šypsenų. Simpsonas jau nesišypsojo – jis vaipėsi. Slapenarskis iš švarko kišenės išėmė melsvo popieriaus lapą, nedideles žirkles ir klijų tūbelę. Jis iš popieriaus iškirpo figūrėlę, kuri, kaip man pasirodė, buvo nepaprastai panaši į galvą ir keturias galūnes. Ji jas patepė klijais ir pradėjo atidžiai sulankstyti figūrą. Popieriaus juostelės viena kitą dengė keisčiausiu būdu, kol galiausiai beliko tik du laisvi galai. Daktaras Slapenarskis ant vieno jų užlašino lašelį klijų.

- Ponai, - ištarė jis, rodydamas mums melsvą kūrinį sukiodamas taip, kad visi galėtume jį pamatyti, - jūs dalyvaujate pirmajame viešoje Slapenarskio paviršiaus demonstracijoje.

Tai ištaręs jis vieną laisvą galą prispaudė prie kito. Pasigirdo garsus pokštelėjimas, tarsi būtų sprogusi elektros lemputė, - ir popierinė konstrukcija jo rankoje dingo!

Akimirkai visi sustingo iš nuostabos, o tada visi nusijuokė ir ėmė ploti. Aišku, visi buvo įsitikinę, kad matė išmoningą ir puikiai atliktą fokusą. Aš, kaip ir daugelis, maniau, kad gudrus cheminis triukas su popieriumi. Matyt jį apdorojo taip, kad trinant ar kitaip paveikiant sprogtų, nepalikdamas pelenų.

Tačiau čia aš pastebėjau, kad profesorius sumišo nuo mūsų juoko; jo veidas ėmė rausti. Jis sumišęs nusišypsojo ir atsisėdo. Plojimai pamažu nurimo.

Visus apėmė linksmumas. Mes susispietėme aplink profesorių ir pakaitomis sveikinome su nuostabiu atradimu. Tada pirmininkaujantis mums priminė, kad apačioje mums padengtas stalas, kur galėsime truputį išgerti ir pažiūrėti pasirodymą.

Kambarys pamažu ištuštėjo, liko tik Slapenarskis, Simpsonas ir aš. Du garsūs topologai stovėjo prie lentos. Simpsonas plačiai nusišypsojo ir parodė į vieną schemą.

- Klaida jūsų įrodymuose taip puikiai užmaskuota, daktare, - tare jis, - kad nemanau, kad kas nors iš dalyvavusių ją pastebėjo.

Lenkų matematikas nepriėmė šio komplimento ir suirzęs paprieštaravo:
- Pas mane nėra klaidos!
- Oi, nurimkite, daktare, - tęsė Simpsonas. – Aišku, čia klaida. – ir vis dar besišypsodamas, jis palietė mažuoju piršteliu schemos. – Šios linijos negali persidengti šiame mazge. Susikirtimas turėtų būti kažkur čia, - jis ranka parodė kiek dešiniau.

Slapenarskio veidas vėl paraudo:
- Sakau jums, čia nėra klaidos, - pakartojo jis, keldamas balsą. Tada lėtai, atidžiai ir trūkčiojančiu balsu sakydamas žodžius, jis vėl pakartojo savo įrodymus, kiekvieną žodį patvirtindamas kumščio stuktelėjimu į stalą.

Simpsonas klausėsi niūriai ir galiausiai jį pertraukė paprieštaraudamas. Vėl pasekė atsakymas. Aš tylėdamas stovėjau šalia. Ginčas buvo virš mano suvokimo lygio.

Tada abu ėmė kelti balsus. Aš jau sakiau, kad Simpsonas jau seniai nesutarė su Slapenarskiu dėl keleto topologijos aksiomų. Dabar būtent jos tapo ginčo argumentais.

- Aš tau sakau, kad ši transformacija negali būti tolydžia, o todėl šių objektų negalima laikyti homeomorfiniais.

Ant lenkų matematiko kaktos iškilo venos:
- Tad pabandykite paaiškinti, kodėl išnyko mano konstrukcija?! - Tai tik pigus fokusas, - atkirto Simpsonas, - man nusispjaut, kaip jūs jį atlikote. Popierėlis išnyko ne todėl, ka neteko materialumo!
- Ach taip, na gerai jau! – iškošė Slapenarskis pro sukąstus dantis.

Prieš man spėjus įsikišti, jis staigiai smogė savo milžinišku kumščiu į Simpsono žandikaulį. Profesorius iš Viskonsino su triukšmu nugriuvo ant grindų. Slapenarskis atsisuko ir su žvėries išvaizda pažvelgė į mane.

- Eik šalin, vaikine, - suurzgė jis. Jis už mane buvo sunkesnis bene 100 svarų ir aš palaikiau, kad geriau yra atsitraukti.

Su siaubu žvelgiau tai, kas vyksta. Slapenarskis atsiklaupė prie ant grindų tįsančio kūno ir greitais rankų judesiais surišo jo rankas ir kojas fantastišku mazgu. Jis topologą iš Viskonsino lankstė taip, kaip savo popieriaus lapą! Netrukus pasigirdo silpnas sprogimas, panašus į automobilio išmetimą – ir po lenkų matematiko rankomis liko tik Simpsono drabužių krūvelė! Simpsonas įgavo nulinį paviršių!

Slapenarskis sunkiai kvėpuodamas atsitiesė, rankose spausdamas tvido švarką, liemenę ir baltinius, visus išvirkščius. Jis lėtai išskėtė rankas ir visi tie daiktai nukrito ant grindų. Jo veidu ritosi stambūs prakaito lašai. Jis kažką murmėjo lenkiškai ir suspaustais kumščiais spaudė galvą. Silpnu balsu paklausiau:
- O jį ... jį galima sugražinti?
- Nežinau, nežinau, - sudejavo Slapenarskis. – Aš dar tik pradėjau šių paviršių tyrinėjimą. Negaliu įsivaizduoti, kur jis šiuo metu yra. Aišku, jis vienoje iš daugiamačių erdvių, tačiau tik dievas žino kokioje.

Ir tuo metu jis stipriai sugriebė mane už švarko atlapų ir supurtė mane taip, kad man vos neiškrito dantų tiltelis:
- Turiu eiti paskui jį, - šaukė jis. – Ateik, padėk man.

Aš pasitaisiau dantų tiltelį ir padėjau jam užsidėti dešinę ranką po kaire koja ir užlenkiau jam galvą taip, kad jis galėtų sugriebti sau už dešinės ausies. Tą patį reikėjo padaryti ir su kaire ranka. „Iš viršaus, ne iš apačios!“ – šūktelėjo jis. Nors ir sunkiai, man vis tik pavyko sulenkti jo ranką taip, kad jis sugriebtų sau už nosies.

Vėl pasigirdo sprogimas, tik stipresnis nei išnykstant Simpsonui, šalto vėjo gūsis trenkė man į veidą. Kai atsimerkiau, ant grindų voliojosi dar viena krūvelė drabužių.

Kai visai pasimetęs žvelgiau į tas dvi krūvas drabužių, už manęs kažkas garsiai iškvėpė. Atsisukau ir pamačiau, kad prie sienos stovi Simpsonas, visiškai nuogas, drebantis, išbalęs lyg kreida. Tada jo kojos sulinko; ir jis parkrito ant grindų. Ant rankų ir kojų ten, kur jas neseniai buvo suspaudę vieną prie kitos, matėsi raudonos dėmės.

Aš puoliau prie durų, jas atidariau ir pasileidau žemyn. Po visko, kas įvyko, man tiesiog reikėjo išgerti. Tačiau salėje tvyrojo sąmyšis – prieš minutę salėje buvo apsireiškęs Slapenarskis.

Metrdotelio kabinete radau kitus Miobuso draugijos narius, o taip pat kelis „Raudonojo gaubto“ darbuotojus, įsitraukusį į triukšmingą ir nerišlų ginčą. Slapenarskis sėdėjo krėsle, suvyniotas į staltiesę, prie smakro priglaudęs nosinę su įvyniotais ledo gabaliukais.

- Simpsonas grįžo, - pranešiau. - Jis be sąmonės, tačiau, spėju, jam viskas gerai.
- Ačiū dievui, - sušnabždėjo Slapenarskis.

„Raudonojo gaubto“ vadovai ir darbuotojai taip ir nepajėgė suvokti, kas įvyko tą keistą vakarą, o mūsų aiškinimai tik blogino padėtį. Policijos atvykimas įnešė dar didesnę sumaištį.

Galiausiai mes abu profesorius pastatėme ant kojų, aprengėme ir išėjom, o tikriau tiesiog bėgome, pažadėję kitą dieną sugrįžti su advokatu. Valdytojas buvo įsitikinęs, kad tapo keisčiausio sąmokslo auka ir grasino mums byla dėl padarytos žalos klubo „nepriekaištingai reputacijai“. Tačiau pasirodė, kad gandai apie to vakaro nutikimus klubui padarė gerą reklamą – ir reikalas buvo užglaistytas. Laikraštininkai, aišku, nugirdo apie tą istoriją, tačiau jos neišplatino, nutarę, kad visa tai reklamos tikslais išgalvojo Faistilas – „Raudonojo gaubto“ spaudos atstovas.

Simpsono sveikata nepablogėjo, tačiau Slapenarskis susilaužė žandikaulį. Aš pristačiau jį į Belino ligoninę, esančią netoli universiteto, ir kitos dienos vakare jis man išdėstė savą įvykių versiją. Simpsonas, kaip jis manė, buvo pasiųstas į aukštesnio matavimo erdvę (tikriausiai, penktojo), o kai atsigavo, išpainiojo savo rankas ir kojas, tai vėl, kaip bet kuris trimatis toras, įgavo išorinį ir vidinį paviršius. Tačiau Slapenarskiui pasisekė prasčiau. Nieko nesimatė, aplink tvyrojo vien migla, - ir jam atrodė, kad jis ritasi žemyn tarsi nuo kalvos. Jis bandė išlaikyti savo nosį kumštyje, tačiau nesėkmingai. Dešinė ranka nuslydo anksčiau, nei jis nusirito iki apačios. Jis išsitiesė ir vėl atsidūrė trimatėje erdvėje, sutrikdydamas egiptietiška Doloresos šokį.

Bent jau taip man pasakojo pats Slapenarskis. Ligoninėje jis išbuvo kelias savaites, visą tą laiką atsisakydamas su kuo nors susitikti. Išrašius aš jį pasitikau ir palydėjau į Centrinę stotį. Jis sėdo į traukinį iki Niujorko – ir daugiau niekada su juo nesusitikau.

Po kelių mėnesių jis mirė Varšuvoje nuo infarkto. Dabar profesorius Simpsonas susirašinėja su jo našle, bandydamas gauti jo užrašus apie paviršius, neturinčius pusių.

Ar sugebės amerikiečių topologai susigaudyti tuose užrašuose (jei juos pavyks gauti), parodys ateitis. Mes gi, kiek beeksperimentavome su popierinėmis figūromis, nieko nepasiekėme, be įprastų dvipusių ar vienpusių paviršių. Ir nors aš padėjau Slapenarskiui susilankstyti, išgyvenimai visai ištrynė iš atminties detales.

Vis tik aš niekada neužmiršiu, ką didysis topologas pasakė tą vakarą, kai pristačiau jį į ligoninę:
- Kokia laimę, - pasakė jis, - kad ir Simpsonas, ir aš kairę ranką uždėjau virš dešinės.
- O kitaip kas būtų nutikę? – pasidomėjau.
- Mus būtų išvertę, - nusipurtė Slapenarskis.

^*) Daktaras Simpsonas vėliau prisipažino, kad į banketą atvyko ne tam, kad paklausytų Slapenarskio, o kad pamatytų Doloresą.

¹⁾ Mobiuso juosta - tai dvimatė neorientuojama daugdara, vienpusį patalpinus į 3-matę euklidinę erdvę R³, kurioje egzistuoja du Mobiuso juostų tipai priklausomai nuo pasukimo krypties: dešinioji ir kairioji. Ją lengva pagaminti – reikia paimti popieriaus juostelę ir, apsukus vieną galą, suklijuoti jos galus. Jai artimu paviršiumi yra

Kleino butelis, kurį galima gauti šonais suklijavus dvi Mobiuso juostas. Ją, nepriklausomai vienas nuo kito, 1858 m. atrado A. Miobusas ir J. Listingas, nors panaši struktūra yra pavaizduota 3 a. romėnų mozaikoje. Ji yra tapusi įkvėpimo šaltiniu skulptūroje ir vaizduojamajame mene, sutinkama (mokslinės fantastikos) literatūros kūriniuose (pvz., A. Klarko apsakyme „Tamsos siena“, 1946, kuriame visas pasaulis pateikiamas kaip Mobiuso juosta). Kartais laikoma, kad Mobiuso juosta yra begalybės simbolio ¥ iliustracija (nors ¥ pasirodė pora šimtmečių anksčiau).
Yra ir praktinių Mobiuso juostos panaudojimų. Pvz., tokios formos konvejerio juosta tarnaus ilgiau, nes jos paviršius vienodžiau dėvisi. Nepertraukiamo įrašymo įrenginiuose naudojamos Mobiuso juostelės, beje, jos leidžia užrašyti dvigubai daugiau informacijos. Kai kuriuose spausdintuvuose dažanti juostelė irgi buvo Mobiuso juostos pavidalo.

²⁾ Kleino butelis - tai dvimatė neorientuojama daugdara, kuriai neįmanoma apibrėžtai nustatyti normalės vektorių sistemos. Neformaliai, tai yra vienpusė plokštuma, kurią apeinant viena kryptimi stebėtojas apsiverčia ir vėl prieina išeities tašką. Ją galima pagaminti šonais suklijuojant dvi Miobijaus juostas. Skirtingai nuo Miobijaus juostos, Kleino butelis – beribis. Jį pirmą kartą 1882 m. aprašė vokiečių matematikas F. Kleinas. Trečia panašia daugdara yra projektyvinė plokštuma.

³⁾ Balantino alus - P. Balantino (1791-1883) 1840 m. įkurtos alaus daryklos alus, vienas seniausių brandų JAV – geriausiai žinomas Ballantine XXX Ale alumi. Šiuo metu priklauso „Pabst Brewing Co“. Jos logotipe pavaizduoti Boromėjų žiedai.