|
Kai kurie pasiekimai 2020 m. matematikoje: išmazgymas Taip pat skaitykite 2019-2018 metai matematikoje 2020 m. matematikams buvo kūrybingi. Kai kuriose įsisenėjusiose problemos proveržiai kartais pateikė atsakymus ir į kitus klausimus. Maždaug prieš 30 m. įrodyta Ferma teorema tebuvo ilgo kelio pradžia. Ji buvo tarsi tiltas tarp skirtingų matematinių sričių: algebrinių lygčių ir tam tikrų simetrinių geometrinių padengimų (užklojimų). Du straipsniai žymiai išplėtė lygčių ir geometrinio padengimų kiekį vadinamajame Langlandso atitikime. O V. Dimitrovas panaudojo kitą sąryšį, polinomų su laipsnių sekomis, kad įvertintų, kaip tam tikri polinomų sprendiniai geometriškai vienas kitą stumia. Taip payt atvaizdavimų teorijoje parodyti grupių sąryšiai su paprastesne matricų koncepcija. Kartais problemas išspręsti seni instrumentai. Taip Liza Piccirillo, nupūtusi dulkės nuo senai žinomo, tačiau mažai naudojamo metodo, atsakė dešimtmečius kybantį klausimą apie mazgus. Tam tikras mazgas buvo pavadintas Džono Konvėjaus vardu ir jis vis išsisukdavo iš klasifikacijos pagal aukštesnių matavimų nurėžtumo savybę. Liza įrodė, kad tas mazgas nėra nurėžtas. Deja, Dž. Konvėjus mirė nuo Covid-19 2020 m. balandį, o jo žmona patvirtino, kad jis nesužinojo apie Lizos pasiekimą.
Bet 4D yra dvi skirtingos versijos to, ką galime vadinti nuopjova. 8-o dešimtm. pradžioje matematikai (iš jų M. Fridmanas ir S. Donaldsonas už tai 1986 m. gavo Fieldso medalius) atrado, kad 4D turi ne tik glotnias sferas, bet ir taip visiškai sumaitotas, kad negalima išlyginti (išglotninti). Tad klausimas apie mazgus kaip nuopjovas priklauso nuo to, ar įtrauksime tas sumaitotas (egzotiškas) sferas (dar skaitykite apie egzotiškąsias hipersferas). Ir čia mazgai, kurie yra topologinės nuopjovos (o ne glotnios nuopjovos) leidžia sukonstruoti egzotiškas 4D versijas, topologiniu požiūriu atrodančias kaip įprastos 4D erdvės, tačiau esančios neišlyginamai sumaigytomis. Tokių egzotinių erdvių egzistavimas keturmatę erdvę išskiria iš visų kitų matavimų. Ir tada klausimas apie nurėžtumą yra patikrinimas dėl tų egzotinių 4D erdvių. Su metais matematikai aptiko daugybę topologinių mazgų (t.y. neglotnių) mazgų. Bet atrodė, kad jų nėra tarp turinčių
12 ar mažiau susikirtimų, ... išskyrus Konvėjaus mazgą. Pats Konvėjus mazgais susidomėjo 6-me dešimtm. dar būdamas
paaugliu ir išvardijo visus iki 11-os susikirtimų. Tame sąraše vienas mazgas išsiskyrė iš kitų ir kad tas mazgas yra topologinis matematikai
Mat Konvėjaus mazgas turėjo tarsi porininką, vadinamąjį mutantą. Jei nupiešime Konvėjaus mazgą ant popieriaus, nukirpsime tam tikrą jo dalį, apsuksime ją ir vėl sujungsime palaidus galus, gausime kitą, Kinošita-Terasaka mazgą. Problemą kėlė tai, kad šis Kinošita-Terasaka mazgas buvo glotni nuopjova. Ir tas artumas apgaudavo priemones, kurią matematikai tam naudojo (vadinamuosius invariantus ar M. Hughes sukurtą neuroninį tinklą). Lizai Piccirillo patiko mazgų suteikiama intuityvi vizualizacija, tačiau jį mąstė skirtingai nei mazgų specialistai. Ji atsižvelgė į kitus du būdus, kuriais mazgai gali būti susiejami. Kiekvienas mazgas turi susijusią 4-matę formą vadinamą jopėdsaku, kuris gaunamas mazgą uždedant ant 4-mačio rutulio paviršiaus ir prisiūnant tam tikrą kepurę ant rutulio palei mazgą. Pėdsakas gana griežtai užkoduoja mazgą. Skirtingi mazgai gali turėti tą patį pėdsaką ir tie giminingi pėdsakai, taip sakant, turi tą patį nuopjovos savybę. Tačiau Liza Piccirillo ir A.N. Miller įrodė, kad tie giminingi pėdsakai nebūtinai atrodo tokiais pačiais visiems mazgo invariantams. Tai Lizai parodė strategiją, leidžiančią įrodyti, kad Konvėjaus mazgas nėra nuopjova. Jei ji sugebėtų sukonstruoti
pėdsaką Konvejaus mazgui, galbūt tasai galėtų sąveikauti su nuopjovos invariantais geriau už patį mazgą.
Tačiau pėdsako sudarinėjimas yra suktas reikalas. Lizai tai pavyko su gudriais susukimais sukonstruoti sudėtingą mazgą, turintį tokį pat pėdsaką, kaip ir Konvėjaus mazgas. Ir šiam mazgui įrankis, kuris vadinamas Razmuseno invariantu, rodo, kad jis nėra glotnus. Tad taip yra ir Konvėjaus mazgui. Čia reikia paminėti ir tai, kad mazgų pėdsakai yra klasikiniu būdu, žinomu jau dešimtmečius, tačiau pasirodė, kad Liza juos suprato geriau už kitus. Jos darbas parodė, kad topologai nepakankamai juos įvertino, - ir kartu ji nupūtė dulkes nuo šio metodo. 2022 m. proveržiai matematikoje Matematiką galime įsivaizduoti tarsi archeologą, kruopščiai nušluostantį dulkes nuo atrastų pasaulio struktūrų tik matematikų atrandamos struktūros ne tik amžinos, bet ir nekintančios. Be to jos nuostabiai susijusios... 2022-ieji buvo tiek trumpų straipsnių (pvz., 6 psl. straipsnis su įrodymu, nurodančiu, kada atsitiktiniuose grafuose atsiranda struktūra), tiek ilgų straipsnių (912 psl. straipsnis apie tai, kad lėtai besisukančios juodosios skylės gali suktis amžinai) metai. Kai kurie pasiekti rezultatai gali pasirodyti per sunkūs net kitiems matematikams (ką bekalbėti apie paprastus žmones). Be to dauguma jų neturi betarpiško praktinio panaudojimo. 2022-ieji buvo ir Fieldso medalių teikimo metai juos gavo James Maynard'as, June Huh3), Maryna Viazovska ir Hugo Duminil-Copin'as4). Antroji medalį gavusi moteris M. Viazovska išsprendė rutulių talpinimo 8-matėje erdvėje uždavinį (skaitykite daugiau >>>>>). H. Diuminilis-Kopenas jį gavo už ilgai užsilaikiusių fazių virsmų uždavinių sprendimą statistinėje fizikoje, kurie atvėrė kelią naujoms tyrimų kryptims. Jis sukūrė skysčių tekėjimo per porėtą terpę apibendrintą teoriją. Dž. Meinardas medalį pelnė už indėlį į analitinę skaičių teoriją, lėmusią pažangą mėginant suprasti pirminių skaičių struktūrą ir Diofanto aproksimaciją (skaitykite daugiau >>>>>). Džiun Ho - už geometrinės kombinatorikos srities transformaciją, panaudojant Hodge'o teorijos, tropinės geometrijos ir singuliarumo teorijos metodus ir kai kurių teiginių (pvz., Reado) įrodymą. Jis sakė, kad matematika galėjo jam duoti tai, ko negalėjo poezija ieškoti grožio pasaulyje, suvokti kažką išoriška, objektyvų ir tikra. 2022 m. buvo sėkmingi skaičių teorijai. Pirmiausia studentas Daniel Larsens nustatė viršutinę ribą pseudo-pirminiams
Carmichaelio skaičiams5), t.y. tokiems kaip 561, t.y. primenančiais pirminius skaičius
tam tikra matematine prasme, tačiau skaidomiems į daliklius (561 = 3 × 11 × 17). Jis įrodė, kad visiems d ir x,
pakankamai dideliems d atžvilgiu, tarp x ir O Oksfordo absolventas Jared Lichtmanas, įrodė, kad pirminiai skaičiai, pagal tam tikrą matą, yra didžiausiu primityvių aibių6) pavyzdžiu. Harald Helfgottas iš Getingeno ir Maksym Radziwiłłas iš CalTecho įrodė, kad tai, kad skaičius turi lyginį ar nelyginį pirminių daliklių skaičių, neturi įtakos tam, ar prieš ar po jo esantis skaičius yra lyginis ar nelyginis. Jiedu pateikė pagerintą sprendinį atskirai 1965 m. Chowla teiginio formuluotei apie sveikų skaičių sąryšius. Formalus Chowla teiginys remiasi Liouville funkcija, kuri lygi 1, jei skaičiaus pirminių daliklių kiekis yra lyginis ir -1, jei nelyginis. Pirmąjį progresą Chowla teiginio įrodyme atliko Terence Tao, kuris naudojo grafų techniką. Tam tikra prasme, Tao turėjo sprendimą teiginiui, tačiau jis nebuvo griežtas. 2021 m. H. Helfgottas su M. Radziwiłłas sukonstravo paprastesnį grafą, leidusį pilnai įrodyti Chowla teiginį, kuris atveria kelią kitiems įdomiems pirminių skaičių teiginiams, tokiems kaip pirminių dvynių teiginiui. Levent Alpöge, Ari Shnidmanas ir Manjul Bhargava, pasigavę Covidą, per
Zoom ėmėsi spręsti seną klausimą: kiek sveikų skaičių galima užrašyti trupmenų kubų suma, pvz., 6=(17/23)3+(37/21)3, o
13=(7/3))3+(2/3)3 2022-ais buvo ir kitų įdomių rezultatų, ir ne tik skaičių teorijos srityje. 
1) Liza Pikirilo (Lisa Marie Piccirillo, g. 1990 m.) amerikiečių matematikė, dirbanti geometrijos ir žemų matavimų topologijos srityse. Pasižymėjo 2020 m., įrodydama, kad Konvėjaus mazgas nėra nuorėža. 2020 m. pradėjo dirbti MIT profesoriaus asistente. 2) Nurėžtas mazgas yra matematinio mazgo trimatėje erdvėje tipas, esantis disko paviršiumi 4-matėje erdvėje. Mazgų teorijoje mazgas reiškia apskritimą ant trimatės sferos S3. Trimačia sfera galime laikyti 4-mačio rutulio B4 paviršių. Tada mazgas K Ì S3 yra nurėžtas (nuopjova), jei jis yra tam tikru būdu į 4-matį rutulį įdėto disko D paviršiumi. Ką reiškia tam tikru būdu, priklauso nuo konteksto. Jei D yra glotniai įdėtas į B4 tai sakoma, kad K yra glotniai nurėžtas mazgas, o jei K tėra lokaliai plokščiu (kas yra silpnesnis atvejis), tai sakoma, kad K yra topologiškai nurėžtas mazgas. Istorija prasidėjo 2018 m. vasarą konferencijoje Ostine (Teksase), skirtai žemesniųjų matavimų daugdarų topologijai ir geometrijai. Joje studentė Liza Piccirillo1) iš Sh. Harvey išgirdo apie nedidelę matematinę problemą, kuri jai pasirodė būsią geru bandomuoju pagrindu jos vystomai technikai. Tai buvo klausimas, ar prieš pusamžį Dž. Konvėjaus atrasta 11-os persikirtimų turinti raizgalynė yra kokio nors aukštesnio mato mazgo nuorėža. Jau po savaitės ji turėjo atsakymą - nėra. Po kelių dienų, susitikusi Ostino un-to prof. C. Gordoną, jam pasisakė apie savo sprendimą. Jis iškart pasakė, kad tai turi eiti į Analus (t.y. Annals of Mathematics), vieną aukščiausiai vertinamų matematinių žurnalų. Ir jis ten pasirodė 2020 m. vasarį (jį galite paskaityti čia). Tai jai suteikė nuo liepos 1 d. gauti darbą MIT. O taip pat gavo Proveržio fondo vieną iš trijų 2021 m. Maryam Mirzakhani vardo premijų už ankstyvus moterų pasiekimus matematikoje. 3) Džiun Ho (June Huh, g. 1983 m.) korėjiečių amerikiečių matematikas, Prinstono un-to profesorius, Fieldso medalio laureatas (2022). 2009 m. įrodė Reado teiginį apie chromatinių daugianarių koeficientų unimodalumą grafų teorijos kontekste buvusią neįrodytą 40 m. Su K. Adiprasito ir E. Kacu įrodė Cherono-Roto-Velšo hipotezę apie matroidų charakteringo daugianario logaritminį įdubimą. 4) Hugo Djuminilis-Kopenas (Hugo Duminil-Copin, g. 1985 m.) prancūzų matematikas, IHES profesorius (nuo 2016 m.), Fieldso medalio laureatas (2022), besispecializuojantis tikimybių teorijos srityje. Jis koncentruojasi ties statistinės fizikos matematine dalimi ir panaudoja tikimybių teorijos idėjas nagrinėjant įvairių tinklų modelių kritinį elgesį. Jis dirba su priklausomais perkoliacijos modeliais, kuriuose briaunų būsena vienoje gardelės dalyje paveikia briaunų būseną kitur, siekdamas atskleisti atskleistų Izingo modelius, naudojamus feromagnetinių medžiagų fazių perėjimams tirti. 5) Karmeiklo skaičius - sudėtinis skaičius n, tenkinantis lygybę bn-1=1 (mod n) visiems sveikiems b, abipusiškai pirminiais su n - kitaip sakant, pseudopirminis skaičius bet kuriam pagrindui b, abipusiškai pirminiu su n. Pavadinti amerikiečių matematiko Roberto Karmeiklo (1879-1967) garbei. Pirmieji skaičiai yra 561, 1105, 1729... (beje, 1729 yra Ramanudžano-Hardi skaičius, apie jį skaitykite >>>>>) Jie nepaprastai reti, tačiau jų yra begalinis skaičius (kas įrodyta tik 1992 m., nors hipotezę apie tai dar 1912 m. išsakė R. Karmeiklas). Tokių skaičių buvimas neleidžia Ferma testo naudoti kaip universalios priemonės patikrinančios ar skaičius yra pirminis. 6) Primityvi aibė - sveikų skaičių aibė, kurios nariai nedalo vienas kito. Pvz., paėmus skaičius nuo 501 iki 1000, gausime primityvią aibę. Aišku, kad pirminiai skaičiai irgi sudaro primityvią aibę. Primityvių aibių sampratą 20 a. 4-me dešimtm. įvedė Paul Erdos. Ir nors jos apibrėžimas yra gana paprastas, šios aibės keisti žvėrys. Jos Erdošo suma yra atvirkštinių skaičių suma (pvz., aibei {2, 3}, Ergošo suma yra 1/2+2/3=5/6). Taip pat skaitykite: |
išsiaiškino per revoliucinį 9-ą dešimtmetį. Tačiau pasirodė, kad jis turi savybę, atsparią bet kokiam bandymui parodyti, kad jis nėra glotni nuopjova.
Karmeiklo skaičių.